Question

已知a＞0，n為正整數(shù)． (1) 設(shè)y＝(x－a)n證明：＝n(x－a)n－1 (2) 設(shè)fn(x)＝xn－(x－a)n，對任意n≥a，證明：n+1(n＋1)＞(n＋1)n(n)

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解：因為(x－a)n=(－a)n－kxk，所以=(－a)n－kxk－1=(－a)n－kxk－1=n(x－a)n－1． 　　分析：可以用二項式定理展開，然后逐項求導(dǎo)的方法解決，也可以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義進行證明．

(2)

對函數(shù)fn(x)=xn－(x－a)n，求導(dǎo)數(shù)，得(x)=nxn－1－n(x－a)n－1， 　　所以n(n)=n[nn－1－(n－a)n－1]． 　　當(dāng)x≥a＞0時，n(x)＞0． 　　所以當(dāng)x≥a時，fn(x)=xn－(x－a)n是關(guān)于x的增函數(shù)． 　　因此，當(dāng)n≥a時，(n＋1)n－(n＋1－a)n＞nn－(n－a)n． 　　所以n+1(n＋1)=(n＋1)[(n＋1)n－(n＋1－a)n]＞(n＋1)[nn－(n－a)n]＞(n＋1)[nn－n(n－a)n－1]=(n十1)(n)． 　　即對任意n≥a，－1(n＋1)＞(n＋1)(n)． 　　點評：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)、不等式證明等知識，考查綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力，第二問學(xué)生易犯的錯誤是直接對數(shù)列fn(n)求導(dǎo)，不符合導(dǎo)數(shù)的定義．