Question

9．已知函數(shù)f（x）=x³-3ax-1，（a≠0）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在x=-1處取得極值，直線y=m與y=f（x）的圖象有且只有一個交點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f′（-1）=3，求出a的值，關(guān)鍵函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值，畫出函數(shù)的圖象，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-3a=3（x²-a），
當a＜0時，對x∈R，有f′（x）＞0，
∴當a＜0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）；
當a＞0時，由f′（x）＞0，解得x＜-$\sqrt{a}$或x＞$\sqrt{a}$．
由f′（x）＜0，解得-$\sqrt{a}$＜x＜$\sqrt{a}$，
∴當a＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-$\sqrt{a}$），（$\sqrt{a}$，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-$\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$）．
（2）∵f（x）在x=-1處取得極值，
∴f′（-1）=3（-1）²-3a=0，∴a=1．
∴f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=0，解得x₁=-1，x₂=1．
由（1）中f（x）的單調(diào)性可知，
f（x）在x=-1處取得極大值f（-1）=1，
在x=1處取得極小值f（1）=-3，
∵直線y=m與函數(shù)y=f（x）的圖象有三個不同的交點，
結(jié)合如圖所示f（x）的圖象可知：

實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-3）∪（1，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．