Question

已知

a

=（1，2），

b

=（1，-1）
（1）若θ為2

a

+

b

與

a

-

b

的夾角，求θ的值；
（2）若2

a

+

b

與k

a

-

b

垂直，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，分別得出2

a

+

b

和

a

-

b

的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)算出（2

a

+

b

）（

a

-

b

）的值和2

a

+

b

、

a

-

b

的模，結(jié)合向量的夾角公式即可算出2

a

+

b

與

a

-

b

的夾角θ的值；
（2）根據(jù)向量

a

=（1，2），

b

=（1，-1）算出2

a

+

b

和k

a

-

b

的坐標(biāo)，利用向量垂直的充要條件建立關(guān)于k的關(guān)系式，解之即可得到實(shí)數(shù)k的值．

解答：解：（1）∵

a

=（1，2）

b

=（1，-1）
∴2

a

+

b

=（3，3），

a

-

b

=（0，3）
由此可得（2

a

+

b

）（

a

-

b

）=3×0+3×3=9
∴cosθ=

(2 a + b )( a - b )

|2 a + b |•| a - b |

=

9

32+32 • 02+32

=

2

2

∵θ∈[0，π]，∴θ=

π

4

；
（2）∵

a

=（1，2）

b

=（1，-1）
∴2

a

+

b

=（3，3），k

a

-

b

=（k-1，2k+1）
∵向量2

a

+

b

與k

a

-

b

垂直，
∴3（k-1）+3（2k+1）=0，解之得k=0

點(diǎn)評(píng)：本題給出向量

a

、

b

的坐標(biāo)，求它們的兩個(gè)線性組合向量的夾角，并探索向量垂直的問題，著重考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和向量垂直的充要條件等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．