Question

已知：函數(shù)f（x）=ax²+2bx（a，b∈R⁺）
（1）若a=b=1，求：不等式log₂f（x）≤3；
（2）若f（1）=1，求：

1

a

+

1

b

的最小值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=b=1時(shí)，f（x）=x²+2x，原不等式log₂f（x）≤3轉(zhuǎn)化為log₂（x²+2x）≤log₂8再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)去掉對(duì)數(shù)符號(hào)轉(zhuǎn)化成二次不等式組求解即得；
（2）先根據(jù)f（1）=1求出a+2b的值，利用

1

a

+

1

b

=

a+2b

a

+

a+2b

b

，再結(jié)合均值不等式求得答案．

解答：解：（1）當(dāng)a=b=1時(shí)，f（x）=x²+2x
則：log₂f（x）≤3?log₂（x²+2x）≤log₂8
?

x2+2x＞0 x2+2x≤8

⇒

x＜-2或x＞0 -4≤x≤2

⇒-4≤x＜-2或0＜x≤2；
（2）當(dāng)f（1）=1時(shí)，有a+2b=1
則：

1

a

+

1

b

=

a+2b

a

+

a+2b

b

=3+

2b

a

+

a

b

∵a，b∈R⁺，∴

2b

a

+

a

b

≥2

2

當(dāng)且僅當(dāng)

2b

a

=

a

b

，即：a=

2

b等號(hào)成立
∴

1

a

+

1

b

=3+

2b

a

+

a

b

≥3+2

2

即：(

1

a

+

1

b

)min=3+2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．