Question

已知函數f（x）=x-1-alnx（a∈R）．
（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線的方程為3x-y-3=0，求實數a的值；
（2）若f（x）≥0恒成立，求證：a=1
（3）若a＜0，且h（x）=f（x）+

4

x

在（0，1]上為減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，從而求出切線的斜率，建立等式關系即可求出a的值；
（2）討論a的符號使f（x）≥0恒成立，求出a的值即可；
（3）求導數，分離參數求最值，即可求實數a的取值范圍．

解答： （1）解：∵f'（x）=1-

a

x

，∴f'（1）=1-a
∴曲線y=f（x）在x=1處的切線的斜率為1-a
∵曲線y=f（x）在x=1處的切線的方程為3x-y-3=0，
∴1-a=3，解得a=-2．
（2）證明：f'（x）=1-

a

x

，其中x＞0
（i）當a≤0時，f'（x）＞0恒成立，所以函數f（x）在（0，+∞）上是增函數
而f（1）=0，所以當x∈（0，1）時，f（x）＜0，與f（x）≥0恒成立相矛盾
∴a≤0不滿足題意．
（ii）當a＞0時，∵x＞a時，f'（x）＞0，所以函數f（x）在（a，+∞）上是增函數；
0＜x＜a時，f'（x）＜0，∴函數f（x）在（0，a）上是減函數；
∴f（x）≥f（a）=a-1-alna
∵f（1）=0，∴當a≠1時，f（a）＜f（1）=0，此時與f（x）≥0恒成立相矛盾
∴a=1
（3）解：∵h′（x）=

x2-ax-4

x2

，h（x）=f（x）+

4

x

在（0，1]上為減函數，
∴x²-ax-4≤0在（0，1]上恒成立，
∴a≥x-

4

x

在（0，1]上恒成立，
∵y=x-

4

x

在（0，1]上是增函數，
∴y=x-

4

x

的最大值為-3，
∴a≥-3，
∵a＜0，
∴-3≤a＜0．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及恒成立問題的應用，同時考查了計算能力，轉化與化歸的思想，屬于中檔題．