Question

11．已知球O的半徑為1，A，B是球面上的兩點(diǎn)，且AB=$\sqrt{3}$，若點(diǎn)P是球面上任意一點(diǎn)，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍是（　　）

• A． [$-\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$]
• B． [$-\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]
• C． [0，$\frac{1}{2}$]
• D． [0，$\frac{3}{2}$]

Answer 1

分析 建立空間坐標(biāo)系，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，設(shè)P（x，y，z），用x，y，z表示出$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$，根據(jù)x，y的范圍求出答案．

解答 解：∵OA=OB=1，AB=$\sqrt{3}$，
∴cos∠AOB=$\frac{1+1-3}{2×1×1}$=-$\frac{1}{2}$，即∠AOB=120°，
以球心O為原點(diǎn)，以平面AOB的垂線為豎軸建立空間坐標(biāo)系，
設(shè)A（1，0，0），B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），P（x，y，z）
則$\overrightarrow{PA}$=（1-x，-y，-z），$\overrightarrow{PB}$=（-$\frac{1}{2}$-x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$-y，-z），且x²+y²+z²=1，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（1-x）（-$\frac{1}{2}$-x）-y（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-y）+z²=x²+y²+z²-$\frac{1}{2}$（x+$\sqrt{3}$y）-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$（x+$\sqrt{3}$y）．
∵P（x，y，z）是球上的一點(diǎn)，∴x²+y²≤1，
設(shè)m=x+$\sqrt{3}y$，則當(dāng)直線x+$\sqrt{3}$y-m=0與圓x²+y²=1相切時(shí)，m取得最值，
∴$\frac{|m|}{2}$=1，∴-2≤m≤2，
∴當(dāng)m=-2時(shí)，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$取得最大值$\frac{3}{2}$，當(dāng)m=2時(shí)，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$取得最小值-$\frac{1}{2}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，使用坐標(biāo)法求解簡(jiǎn)化計(jì)算，屬于中檔題．