Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，前n項(xiàng)和S_n滿足an=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：

5

4

≤Tn＜

7

4

 (n≥2)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得

Sn

-

Sn-1

=1，從而得到數(shù)列{

Sn

}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，得

Sn

=n，由此能求出a_n=2n-1．
（Ⅱ）由

1

Sn

=

1

n2

，n≥2，得Tn=C1+C2+…+Cn≥C1+C2=

5

4

，利用裂項(xiàng)求和法推導(dǎo)出T_n=

7

4

-

1

n

＜

7

4

，由此能證明

5

4

≤Sn＜

7

4

(n≥2)．

解答： （Ⅰ）解：因?yàn)?span id="mwym4a8" class="MathJye">an=

Sn

+

Sn-1

，
所以Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

，
即

Sn

-

Sn-1

=1，
所以數(shù)列{

Sn

}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，得

Sn

=n，
所以an=

Sn

+

Sn-1

=n+(n-1)=2n-1（n≥2），
當(dāng)n=1時(shí)a₁=1也適合．
所以a_n=2n-1．…（7分）
（Ⅱ）證明：

1

Sn

=

1

n2

，
因?yàn)閚≥2，所以Tn=C1+C2+…+Cn≥C1+C2=

5

4

，
Tn=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

4

+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)
=

7

4

-

1

n

＜

7

4

．
所以

5

4

≤Sn＜

7

4

(n≥2)．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．