Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²-mx+1-m²，若|f（x）|在[0，1]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍-1≤m≤0或m≥2．

Answer 1

分析 分判別式大于或等于0以及判別式小于0兩種情況討論，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：△=m²-4（1-m²）=5m²-4，函數(shù)的對(duì)稱軸為x=$\frac{m}{2}$，
①當(dāng)△=0時(shí)，5m²-4=0，即m=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
若m=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，則對(duì)稱軸為x=$\frac{\sqrt{5}}{5}$∈[0，1]，則在[0，1]上不單調(diào)遞增，不滿足條件．
若m=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，則對(duì)稱軸為x=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$＜0，則在[0，1]上單調(diào)遞增，滿足條件．
②當(dāng)△＜0時(shí)，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$＜m＜$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，此時(shí)f（x）＞0恒成立，若|f（x）|在[0，1]上單調(diào)遞增，
則x=$\frac{m}{2}$≤0，即m≤0，此時(shí)，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$＜m≤0．
③當(dāng)△＞0，m＜-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或m＞$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，對(duì)稱軸為x=$\frac{m}{2}$．
當(dāng)m＜-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$時(shí)，對(duì)稱軸為x=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$＜0，要使|f（x）|在[0，1]上單調(diào)遞增，
則只需要f（0）≥0即可，此時(shí)f（0）=1-m²≥0，得-1≤m≤1，
此時(shí)-1≤m＜-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
若m＞$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，對(duì)稱軸為x＞$\frac{\sqrt{5}}{5}$，則要使|f（x）|在[0，1]上單調(diào)遞增，
此時(shí)f（0）=1-m²＞0，只需要對(duì)稱軸$\frac{m}{2}$≥1，所以m≥2．
此時(shí)m≥2，
綜上-1≤m≤0或m≥2，
故答案為：-1≤m≤0或m≥2

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．要注意分情況討論．分類合理，不重不漏．綜合性較強(qiáng)，難度較大．