Question

如圖，焦距為2的橢圓D的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A和B，且與共線．
（Ⅰ）求橢圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M（0，m）且斜率為的直線l與橢圓D有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，若以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由已知得A（a，0）、B（0，b），
∴，
∵與共線，
∴，又a²-b²=1（3分）
∴a²=2，b²=1，
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（5分）
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
把直線方程代入橢圓方程，
消去y，得，，
∴，（7分）
△=32m²-20（2m²-2）=-8m²+40＞0，
∴m²＜5（8分）
∵以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，
∴，即x₁x₂+y₁y₂=0（9分）
又
由x₁x₂+y₁y₂=0得，
∴m²=2＜5（11分）
∴（12分）
分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得A（a，0）、B（0，b），故，由與共線，知，由此能求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），把直線方程代入橢圓方程，得，，故，，△=32m²-20（2m²-2）=-8m²+40＞0，故m²＜5．由以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O知，由此能求出實(shí)數(shù)m的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法和求實(shí)數(shù)的值，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．