Question

如圖，焦距為2的橢圓D的兩個頂點分別為A和B，且與共線．
（Ⅰ）求橢圓D的標準方程；
（Ⅱ）過點M（0，m）且斜率為的直線l與橢圓D有兩個不同的交點P和Q，若以PQ為直徑的圓經(jīng)過原點O，求實數(shù)m的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設橢圓E的標準方程為，
由已知得A（a，0）、B（0，b），
∴，
∵與共線，
∴，又a²-b²=1（3分）
∴a²=2，b²=1，
∴橢圓E的標準方程為（5分）
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
把直線方程代入橢圓方程，
消去y，得，，
∴，（7分）
△=32m²-20（2m²-2）=-8m²+40＞0，
∴m²＜5（8分）
∵以PQ為直徑的圓經(jīng)過原點O，
∴，即x₁x₂+y₁y₂=0（9分）
又
由x₁x₂+y₁y₂=0得，
∴m²=2＜5（11分）
∴（12分）
分析：（Ⅰ）設橢圓E的標準方程為，由已知得A（a，0）、B（0，b），故，由與共線，知，由此能求出橢圓E的標準方程．
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），把直線方程代入橢圓方程，得，，故，，△=32m²-20（2m²-2）=-8m²+40＞0，故m²＜5．由以PQ為直徑的圓經(jīng)過原點O知，由此能求出實數(shù)m的值．
點評：本題考查橢圓標準方程的求法和求實數(shù)的值，綜合性強，難度大，是高考的重點，解題時要認真審題，仔細解答．