Question

已知四棱錐P-ABCD中，PA=AB，PA⊥底面ABCD，ABCD是平行四邊形，且∠BAC=90°．
（Ⅰ）求證：PB⊥AC；
（Ⅱ）若點E是線段PD上一點，且滿足

PE

=2

ED

．求二面角E-AC-B的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明AC⊥平面PAB，可得PB⊥AC；
（Ⅱ）過點E作EO⊥AD于點O，則EO⊥平面ABCD，EO⊥AC．過點O作OG⊥AC于G，則AC⊥平面EOG，所以∠EGO即是所求二面角的平面角的補角．

解答： 解：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AC，-----（2分）
∵AB⊥AC，PA∩AB=A．----（4分）
∴AC⊥平面PAB，
∴PB⊥AC．------（6分）
（Ⅱ）過點E作EO⊥AD于點O，則EO⊥平面ABCD，
∴EO⊥AC．
過點O作OG⊥AC于G，則AC⊥平面EOG．------（8分）
則∠EGO即是所求二面角的平面角的補角．-------（10分）
設(shè)PA=3，在直角三角形EOG中，EO=1，OG=2，EG=

5

∴cos∠EOG=

OG

EG

=

2 5

5

．----（13分）
∴二面角E-AC-B的余弦值是-

2 5

5

．-----------（14分）

點評：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查二面角E-AC-B的余弦值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．