Question

（2014•江門模擬）已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx+cosx），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）求f（x）的最大值，并求f（x）取最大值時自變量x的集合．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，根據(jù)兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的值域確定出f（x）的最大值，以及此時x的值即可．

解答：解：（1）f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
（2）由（1）知f（x）的最大值M=

2

+1，
當f（x）=

2

+1時，sin（2x+

π

4

）=1，
∴2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，
即x=kπ+

π

8

，k∈Z，
則所求自變量x的集合為{x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的周期性及其求法，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵．