Question

已知關于x的方程|x-k|=

2

2

k

x

在區(qū)間[k-1，k+1]上有兩個不相等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：將方程轉化為兩個函數(shù)f（x）=|x-k|，g（x）=

k 2

2

•

x

，根據(jù)絕對值函數(shù)和根式函數(shù)的圖象和性質，利用數(shù)形結合即可得到結論．

解答： 解：由方程可知k≥0，
設f（x）=|x-k|，g（x）=

k 2

2

•

x

，
則函數(shù)f（x）在[k-1，k]上單調遞減，在[k，k+1]上遞增，g（x）在區(qū)間[k-1，k+1]上單調遞增，
要使關于x的方程|x-k|=

2

2

k

x

在區(qū)間[k-1，k+1]上有兩個不相等的實根，
即函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[k-1，k+1]上有兩個交點，
由圖象可知，

f(k-1)≥g(k-1) f(k+1)≥g(k+1)

，
即

|k-1-k|=1≥ 2 2 •k• k-1 |k+1-k|=1≥ 2 2 •k• k+1

，
則只需要

2

2

•k•

k+1

≤1成立即可，此時0≤k≤1，
當k=0時，不等式等價為|x|=0，在區(qū)間[-1，1]上只有一個交點，不滿足條件，
故0＜k≤1．
故答案為：0＜k≤1．

點評：本題主要考查方程根的應用，利用方程和函數(shù)之間的關系轉化為兩個函數(shù)圖象之間的關系是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．