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17.如圖,點C為圓O上一點,CP為圓的切線,CE為圓的直徑,CP=3.
(1)若PE交圓O于點F,EF=165,求CE的長;
(2)若連接OP并延長交圓O于A,B兩點,CD⊥OP于D,求CD的長.

分析 (1)證明△ECP∽△EFC,利用EF:CE=CE:EP,建立方程,即可求CE的長;
(2)由切割線定理CP2=BP(4+BP),求出BP,利用CD•OP=OC•CP,求出CD.

解答 解:(1)因為CP是圓O的切線,CE是圓O的直徑,
所以CP⊥CE,∠CFE=90°,所以△ECP∽△EFC,
設(shè)CE=x,EP=x2+9,
又因為△ECP∽△EFC,所以EF:CE=CE:EP,
所以x2=165x2+9,解得x=4.
(2)由切割線定理CP2=BP(4+BP),
∴BP2+4BP-9=0,
BP=132,∴OP=13,
所以CD•OP=OC•CP,∴CD=OCCPOP=2×313=61313

點評 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì),考查切割線定理的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

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