已知x3+mx2-3x+n=0的三根的平方和為6，且有兩個相等的正根，求m、n．
【答案】分析：由一元三次方程根與系數(shù)的關系，我們根據(jù)方程有兩個相等的正根，可將方程的三根設為α，β，β，且β＞0，從而得到一個四元方程組，利用乘法公式處理后，即可得到m、n的值．
解答：解：設方程的三根為α，β，β，且β＞0．
由根與系數(shù)的關系及題設有
由（4）-2•（2）得α2-αβ=12（5）
（1）式平方得α2+4αβ+4β2=m2（6）
（5）+（6）得2α2+4β2=12+m2．
由（4）得2•6=12+m2，∴m=0．
由（1）得α+2β=0
∴α=-2β代入（4）式可得6β2=6，β=1（∵β＞0，∴β≠-1）．
α=-2．由（3）n=-αβ2=-（-2）•1=2．
故m=0，n=2．
點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，一元n次方程根與系數(shù)的關系，難度系數(shù)較大，其中利用一元n次方程根與系數(shù)的關系，構造四元方程組是解答的關鍵．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=x3+mx2+x+5，存在實數(shù)xo使f′（xo）=0，又f（x）是R上的增函數(shù)，則m的取值范圍是（　�。�
A、（-∞，-
3
]∪[
3
，+∞)
B、{-
3
，
3
}
C、（-∞，-
3
)∪(
3
，+∞)
D、[-
3
，
3
]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知m∈R，設P：x1和x2是方程x2-ax-2=0的兩個實根，不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|對任意實數(shù)a∈[-1，1]恒成立．Q：函數(shù)f(x)=x3+mx2+(m+
43
)x+6在（-∞，+∞）上有極值．求使P正確且Q正確的m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在極大值又存在極小值，則實數(shù)m的取值范圍是
m＜-3或m＞6
m＜-3或m＞6
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+mx2+nx有兩個不同的極值點α，β，設f（x）在點（-1，f（-1））處的切線為l1，其斜率為k1；在點（1，f（1））處的切線為l2，其斜率為k2
（1）若m=1，n=-1，當t∈（-1，1）時，求函數(shù)f（x）在x∈[t，1]上的最小值；
（2）若k1=-
1
2
，|α-β|=
10
3
，求m，n；
（3）若α，β∈（-1，1），求k1•k2可能取到的最大整數(shù)值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=x3+mx2-nx（m，n為實數(shù)）．
（1）若x=1是函數(shù)y=g（x）的一個極值點，求m與n的關系式；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)g（x）的單調遞增區(qū)間；
（3）若關于x的不等式2f（x）≤g'（x）+1+n的解集為P，且（0，+∞）⊆P，求實數(shù)m的取值范圍．

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