Question

四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB垂直于AD和BC，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1．求：
（1）V_S-ABCD；
（2）SC上是否存在點(diǎn)E，使DE⊥SB？若存在，確定點(diǎn)E的位置．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得V_S-ABCD=

1

3

Sh=

1

3

SA×（AD+BC）•AB•

1

2

，由此能求出結(jié)果．
（2）以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出當(dāng)E為SC中點(diǎn)時(shí)，DE⊥SB．

解答： 解：（1）∵四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，
AB垂直于AD和BC，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，
∴V_S-ABCD=

1

3

Sh=

1

3

SA×（AD+BC）•AB•

1

2

=

1

6

×2×（1+2）×2
=2．
（2）以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AS為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意知D（1，0，0），S（0，0，2），C（2，2，0），
B（0，2，0），設(shè)

CE

=λ

CS

=（-2λ，-2λ，2λ），
設(shè)E（a，b，c），

CE

=（a-2，b-2，c），
則

a=2-2λ b=2-2λ c=2λ

，∴E（2-2λ，2-2λ，2λ），

DE

=（1-2λ，2-2λ，2λ），

SB

=（0，2，-2），
∵DE⊥SB，
∴

DE

•

SB

=2（2-2λ）-2×2λ=0，解得λ=

1

2

，
∴當(dāng)E為SC中點(diǎn)時(shí)，DE⊥SB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查四棱錐的體積的求法，考查滿足異面直線垂直的點(diǎn)的位置的確定，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．