Question

在公差不為0的等差數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，且a₂，a₅，a₁₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令bn=2n•an，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得（1+4d）²=（1+d）（1+13d），由此能求出a_n=2n-1．
（2）由bn=(2n-1)•2n，利用錯位相減法能求出Tn=6+2n+1(2n-3)．

解答： 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
由題知，

a

2 5

=a2•a14，…（1分）
∵a₁=1，∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），…（2分）
即d²-2d=0，又∵d≠0，∴d=2…（4分）
∴a_n=1+2（n-1），∴a_n=2n-1．…（5分）
（2）∵bn=(2n-1)•2n，…（6分）
∴Tn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n①2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1②
①-②得-Tn=2+23+24+…+2n+1-(2n-1)×2n+1…（9分）
=2+

8-2n+2

1-2

-(2n-1)×2n+1
=2-8+2ⁿ⁺²-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=-6+2ⁿ⁺¹（2-2n+1）=-6+2ⁿ⁺¹（3-2n）…（11分）
∴Tn=6+2n+1(2n-3)．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運(yùn)用．