求證：
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
2n-1
＞
n-2
2
（n≥2）．
分析：題干錯(cuò)誤：：
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
2n-1
＞
n-2
2
，應(yīng)該是：：
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
2n-1
＞
n-2
2
，請給修改
解答：證明：①當(dāng)n=2時(shí)，左=
1
2
＞0=右，
∴不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2，k∈N*）時(shí)，不等式成立．
即
1
2
+
1
3
+…+
1
2k-1
＞
k-2
2
成立．
那么n=k+1時(shí)，
1
2
+
1
3
+…+
1
2k-1
 
+
1
2k-1+1
+…+
1
2k-1+2k-1

＞
k-2
2
+
1
2k-1+1
+…+
1
2k
＞
k-2
2
+
1
2k
+
1
2k
+…+
1
2k

=
k-2
2
+
2k-1
2k
=
(k+1)-2
2
，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立．
據(jù)①②可知，不等式對(duì)一切n∈N*且n≥2時(shí)成立
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-ax+
1-a
x+1
（a＞
1
2
）．
（Ⅰ）當(dāng)曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線l：y=2x+1垂直時(shí)，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（III）求證：
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n+1
＜ln(n+1)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
   (n∈N*)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=ln（x+1）．
（1）若g(x)=
1
4
x2-x+f(x)，求g（x）在[0，2]上的最大值與最小值；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，求證
1
1+x
＜f(
1
x
)＜
1
x
；
（3）當(dāng)n∈N+且n≥2時(shí)，求證：
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n+1
＜f(n)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
1-x
ax
+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)．
（1）求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若a=1，求證：
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
＜lnn＜n+
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n-1
（n∈N*且n≥2）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}滿足a1=
1
3
，  an+1=
a
2
n
a
2
n
-an+1
(n=1，2，…)．
（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ） 求證：a1+a2+…+an=
1
2
-
an+1
1-an+1
；
（Ⅲ）求證：
1
2
-
1
32n-1
＜a1+a2+…+an＜
1
2
-
1
32n
．

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