Question

已知四棱錐S-ABCD中，△SAD是邊長為2的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，O為AD的中點(diǎn)，Q為SB的中點(diǎn)，H為OQ的中點(diǎn)．
（1）求證：OQ∥平面SCD；
（2）求二面角D-OC-Q的余弦值；
（3）證明：在△AOB內(nèi)存在一點(diǎn)M，使HM⊥平面QOC．

Answer 1

分析：（1）做出輔助線，作輔助線的原則是有中點(diǎn)找中點(diǎn)，取SC中點(diǎn)R，連接QR，DR，根據(jù)線面平行的判定定理，在平面上找出一條直線與已知直線平行．
（2）連接SO，BO，在△OAB中，OB⊥OA，得到OA，OB，OS兩兩垂直，這樣建立坐標(biāo)系，寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，看出一個(gè)平面的法向量，再設(shè)出一個(gè)平面的法向量，根據(jù)兩個(gè)向量的夾角得到二面角的余弦值．
（3）根據(jù)上一問設(shè)出的坐標(biāo)系，寫出要用到點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)線與面垂直，得到關(guān)于x，y的值，經(jīng)檢驗(yàn)M坐標(biāo)滿足在△AOB內(nèi)存在一點(diǎn)M，使HM⊥平面QOC．

解答：解：（1）取SC中點(diǎn)R，連接QR，DR，
由題意知OD∥BC，OD=

1

2

BC，QR∥BC，QR=

1

2

BC，QR∥OD，QR=OD
所以O(shè)Q∥DR，又OQ?平面SCD，DR?平面SCD
所以O(shè)Q∥平面SCD
（2）連接SO，BO，在△OAB中，OB⊥OA
又因?yàn)槠矫鍿AD⊥平面ABCD，
所以O(shè)S⊥AD，
所以O(shè)S⊥平面ABCD
所以O(shè)A，OB，OS兩兩垂直
如圖，建系O(0，0，0)，S(0，0，

3

)，B(0，

3

，0)，C(-2，

3

，0)Q(0，

3

2

，

3

2

)
平面OCD的法向量為

OS

=(0，0，

3

)
設(shè)

n

=(x，y，z)為平面OQC的一個(gè)法向量
由

n • OQ =0 n • OC =0

得

3 2 y+ 3 2 z=0 -2x+ 3 y=0

取z=1得cos＜

n

，

OS

＞=

n• OS

| n |•| OS |

=

2 22

11

二面角D-OC-Q的余弦值為-

2 11

11

（3）設(shè)點(diǎn)M（x，y，0），H(0，

3

4

，

3

4

)，

HM

=(x，y-

3

4

，-

3

4

)，HM⊥平面QOC，
∴

x=(- 3 2 )(- 3 4 )= 3 8 y= 3 4 + 3 4 = 3 2

在△AOB內(nèi)部區(qū)域滿足不等式組

x＞0 y＞0 x+ y 3 ＜1

經(jīng)檢驗(yàn)M坐標(biāo)滿足
在△AOB內(nèi)存在一點(diǎn)M，使HM⊥平面QOC

點(diǎn)評：本題考查利用空間向量解決幾何體中的夾角和距離的問題，本題解題的關(guān)鍵是建立合適的坐標(biāo)系，把邏輯性很強(qiáng)的理論推導(dǎo)轉(zhuǎn)化成數(shù)字的運(yùn)算，降低了題目的難度．