Question

已知圓心為（1，2）的圓C，被直線l：2x-y-5=0截得的弦長(zhǎng)為4

5

．
（Ⅰ）求圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)P是直線l上橫坐標(biāo)為-4的一點(diǎn)，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的圓的切線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出圓的半徑即可求圓C的方程．
（Ⅱ）求出P的坐標(biāo)，結(jié)合直線和圓相切的等價(jià)條件即可求出切線方程．

解答： 解：（Ⅰ）圓心到直線的距離d=

|2-2-5|

22+1

=

5

5

=

5

，
則圓的半徑R=

( 5 )2+( 4 5 2 )2

=

5+20

=

25

=5，
則圓C的方程為（x-1）²+（y-2）²=25．
（Ⅱ）∵P是直線l上橫坐標(biāo)為-4的一點(diǎn)，
∴2×（-4）-y-5=0，
解得y=-13，即P（-4，-13），
當(dāng)過(guò)P的圓的切線斜率k存在，設(shè)方程為y+13=k（x+4），
即kx-y+4k-13=0，
而C（1，2）到kx-y+4k-13=0的距離d=

|k-2+4k-13|

k2+12

=5，∴k=

4

3

，
所以所求切線方程為y+13=

4

3

(x+4)，即4x-3y-23=0，
當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，x=-4也與圓C相切．
綜上可得，所求的切線方程是4x-3y-23=0和x=-4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的方程的求解，以及直線和圓相切的位置關(guān)系，利用圓心到直線的距離和半徑之間是關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．