已知
a
=(4sinx，-2
3
)，
b
=（cosx，cos2x-sin2x）．
（1）若
a
⊥
b
，求x的取值范圍；
（2）f（x）=
a
•
b
+1，當(dāng)x∈(
π
3
，
5π
6
)時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．
分析：（1）由題意得
a
•
b
=0，代入
a
、
b
的坐標(biāo)并化簡可得tan2x=
3
，結(jié)合正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得答案；
（2）利用向量數(shù)量積公式和三角恒等變換公式，化簡整理得f（x）=4sin(2x-
π
3
)+1，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合x∈(
π
3
，
5π
6
)加以計(jì)算，即可得到函數(shù)f（x）的值域．
解答：解：（1）由
a
⊥
b
得
a
•
b
=0，即
a
•
b
=4sinx•cosx-2
3
(cosx2-sinx2)=0，
∴2sin2x-2
3
cos2x=0，
即sin2x=
3
cos2x，可得tan2x=
3
，
因此，2x=
π
3
+kπ（k∈Z），
可得x=
kπ
2
+
π
6
．
∴x的取值范圍是{x|x=
kπ
2
+
π
6
，k∈Z}，
（2）f（x）=
a
•
b
+1=4sinx•cosx-2
3
(cosx2-sinx2)+1
=2sin2x-2
3
cos2x+1=4(
1
2
sin2x-
3
2
cos2x)+1=4sin(2x-
π
3
)+1，
∵x∈(
π
3
，
5π
6
)，可得2x-
π
3
∈(
π
3
，
4π
3
)，
∴當(dāng)2x-
π
3
∈(
π
3
，
π
2
)時(shí)，即x∈(
π
3
，
5π
12
)時(shí)，函數(shù)f（x）為遞增函數(shù)，
而x∈[
5π
12
，
5π
6
)時(shí)函數(shù)f（x）為遞減函數(shù)．
由此可得sin(2x-
π
3
)∈(-
3
2
，1]，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)?span id="sl37dwg" class="MathJye">(1-2
3
，5]．
點(diǎn)評(píng)：本題給出向量含有三角函數(shù)式的坐標(biāo)，求函數(shù)f（x）=
a
•
b
+1的值域．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三個(gè)函數(shù)①y=x+
4
x
，②y=sinx+
4
sinx
（0＜x＜π），③y=log3x+logx81（x＞1），其中函數(shù)的最小值為4的函數(shù)是（　�。�
A、①B、②C、③D、①②③都不是

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
=（1-tanx，4sinx），
b
=（1+sin2x+cos2x，-
3
cosx），f（x）=
a
•
b
，求f（x）的最大、最小值及相應(yīng)的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosx，4sinx-2)，
b
=(8sinx，2sinx+1)，x∈R，設(shè)函數(shù)f(x)=
a
•
b

（1）求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）在△ABC中，A為銳角，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，f（A）=6，且△ABC的面積為3，b+c=2+3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知
a
=（1-tanx，4sinx），
b
=（1+sin2x+cos2x，-
3
cosx），f（x）=
a
•
b
，求f（x）的最大、最小值及相應(yīng)的x的值．

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