Question

已知數(shù)列{an}成等比數(shù)列，且an＞０．

（1）若a2－a1=8，a3=m．

①當(dāng)m=48時(shí)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

②若數(shù)列{an}是唯一的，求m的值；

（2）若a2k＋a2k－1＋ ＋ak＋1－ (ak＋ak－1＋ ＋a1 )＝8，k∈N*，求a2k＋1＋a2k＋2＋ ＋a3k的最小值．

 

Answer 1

（1）①an＝8(2－)(3＋)n-1，或an＝8(2＋)(3－)n-1，②an＝2n＋2．．（2）32．．

【解析】

試題分析：（1）①確定等比數(shù)列通項(xiàng)，只需確定首項(xiàng)及等比，這需兩個(gè)獨(dú)立條件．由a2－a1＝8，a3＝m＝48，得解之，得 或所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝8(2－)(3＋)n-1，或an＝8(2＋)(3－)n-1．②正確理解數(shù)列{an}是唯一的的含義，即關(guān)于a1與q的方程組有唯一正數(shù)解，即方程8q2－mq＋m＝0有唯一解．由△＝m2－32m＝0，a3＝m＞0，所以m＝32，此時(shí)q＝2．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m＝32時(shí)，數(shù)列{an}唯一，其通項(xiàng)公式是an＝2n＋2．（2）由a2k＋a2k－1＋ ＋ak＋1－ (ak＋ak－1＋ ＋a1 )＝8，得a1(qk－1)(qk－1＋qk－2＋ ＋1)＝8，且q＞1．a(chǎn)2k＋1＋a2k＋2＋ ＋a3k＝a1q2k(qk－1＋qk－2＋ ＋1) ＝＝≥32，當(dāng)且僅當(dāng) ，即q＝，a1＝8(－1)時(shí)，a2k＋1＋a2k＋2＋ ＋a3k的最小值為32.

【解析】
設(shè)公比為q，則由題意，得q＞0．

（1）①由a2－a1＝8，a3＝m＝48，得

解之，得 或

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

an＝8(2－)(3＋)n-1，或an＝8(2＋)(3－)n-1． 5分

②要使?jié)M足條件的數(shù)列{an}是唯一的，即關(guān)于a1與q的方程組有唯一正數(shù)解，即方程8q2－mq＋m＝0有唯一解．

由△＝m2－32m＝0，a3＝m＞0，所以m＝32，此時(shí)q＝2．

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m＝32時(shí)，數(shù)列{an}唯一，其通項(xiàng)公式是an＝2n＋2． 10分

（2）由a2k＋a2k－1＋ ＋ak＋1－ (ak＋ak－1＋ ＋a1 )＝8，

得a1(qk－1)(qk－1＋qk－2＋ ＋1)＝8，且q＞1． 13分

a2k＋1＋a2k＋2＋ ＋a3k＝a1q2k(qk－1＋qk－2＋ ＋1)

＝＝≥32，

當(dāng)且僅當(dāng) ，即q＝，a1＝8(－1)時(shí)，

a2k＋1＋a2k＋2＋ ＋a3k的最小值為32． 16分

考點(diǎn)：數(shù)列綜合應(yīng)用