Question

13．過拋物線τ：y²=8x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AF|=6，則拋物線τ的頂點(diǎn)到直線AB的距離為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線方程可求得p的值，進(jìn)而利用拋物線的定義可求x₁=4，即可求出直線AB的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離即可求出答案．

解答 解：y²=8x的焦點(diǎn)F（2，0），p=4
設(shè)A（x₁，y₁），
∵|AF|=x₁+$\frac{1}{2}$p=6，
∴x₁=4，
∴y₁²=8x₁=32，
∴y₁=4$\sqrt{2}$，
∴A（4，4$\sqrt{2}$），
∴直線AB的方程為$\frac{x-2}{4-2}$=$\frac{y-0}{4\sqrt{2}-0}$，即2$\sqrt{2}$x-y-4$\sqrt{2}$=0，
∴拋物線τ的頂點(diǎn)到直線AB的距離為d=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+1}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
故答案為：$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．涉及拋物線的焦點(diǎn)弦問題時(shí)，常利用拋物線的定義較為簡(jiǎn)單．