Question

已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系式：，.

（1）若，證明：（�。┊�(dāng)時(shí)，有；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，有.

（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，有.

Answer 1

證明略

解析:

因?yàn)?img width=267 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/183/340183.gif">，故，即數(shù)列為遞增數(shù)列.

（1）（ⅰ）由及可求得，于是當(dāng)時(shí)，，于是，即當(dāng)時(shí)，.

                                                …………………………5分

（ⅱ）由于時(shí)，，所以時(shí)，.

由可得.

先用數(shù)學(xué)歸納法證明下面的不等式成立：   （）.

Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立.

Ⅱ）假設(shè)結(jié)論對成立，即，則結(jié)合（ⅰ）的結(jié)論可得

，即當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立.

綜合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式對一切都成立.

因此，當(dāng)時(shí)，，即.

又，，所以當(dāng)時(shí)，有.

                                              …………………………10分

（2）由于，而數(shù)列為遞增數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，有.

由可得，而，于是

.

下面先證明：當(dāng)時(shí)，有                        （*）

Ⅰ）根據(jù)及計(jì)算易得，

，而，

故，即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.

Ⅱ）假設(shè)結(jié)論對成立，即.

因?yàn)?img width=133 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/37/340237.gif">，而函數(shù)在時(shí)為增函數(shù)，所以

，

即當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立.

綜合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式對一切都成立.

于是當(dāng)時(shí)，，故，所以.

                                                …………………………20分