Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，前n項(xiàng)的和為S_n，且滿足2a_n+1+S_n=2（n∈N^*）．則滿足

1001

1000

＜

S2n

Sn

＜

11

10

的n的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)遞推數(shù)列的關(guān)系判斷數(shù)列是等比數(shù)列，求出數(shù)列的前n項(xiàng)和解不等式即可．

解答： 解：∵2a_n+1+S_n=2，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n+S_n-1=2，
兩式相減得2a_n+1+S_n-2a_n-S_n-1=2a_n+1+a_n-2a_n=0，
即2a_n+1=a_n，
則

an+1

an

=

1

2

，（n≥2），
當(dāng)n=1時(shí)，2a₂+S₁=2，
即2a₂+1=2，則a₂=

1

2

，
滿足

a2

a1

=

1

2

，
即

an+1

an

=

1

2

，（n≥1），
則數(shù)列數(shù)列{a_n}是公比q=

1

2

的等比數(shù)列，
則S_n=

1×[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=2[1-（

1

2

）ⁿ]，S_2n=2[1-（

1

2

）²ⁿ]，
則

S2n

Sn

=

1-( 1 2 )2n

1-( 1 2 )n

=1+（

1

2

）ⁿ，
由

1001

1000

＜

S2n

Sn

＜

11

10

得

1001

1000

＜1+（

1

2

）ⁿ＜

11

10

，
即

1

1000

＜（

1

2

）ⁿ＜

1

10

，
∵（

1

2

）⁹=

1

512

，（

1

2

）⁸=

1

256

，（

1

2

）¹⁰=

1

1024

，
∴滿足條件的n=9，
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列求和的計(jì)算，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系判斷數(shù)列是等比數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．