Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c，若x=-2時，y=f（x）有極值．y=f（x）在（1，f（1））處的切線l不過第四象限且斜率為3，又坐標原點到切線l的距離為

10

10

．
（1）求函數f（x）的解析式．
（2）若函數y=f（x）的圖象與直線y=m有三個不同的公共點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）由f'（x）=3x²+2ax+b．得

f′(-2)=0 f′(1)=3

，則

|m|

32+1

=

10

10

．解得m=±1．由切點坐標為（1，4），從而f（x）=x³+2x²-4x+5；
（2）由（1）知f（x）=x³+2x²-4x+5，得f'（x）=3x²+4x-4=（x+2）（3x-2），令f′(x)=0，得x1=-2，x2=

2

3

．從而f（x）_極大值=f（-2）=13，f（x）_極小值=f(

2

3

)=

95

27

，進而求出m的范圍．

解答： 解：（1）∵f'（x）=3x²+2ax+b．
∴

f′(-2)=0 f′(1)=3

，
解得a=2，b=-4，
設切線l的方程為y=3x+m，由原點到切線l的距離為

10

10

，
則

|m|

32+1

=

10

10

．解得m=±1．
∵切線l不過第四象限，
∴m=1．∴切線l的方程為y=3x+1，
由于切點的橫坐標為x=1，
∴切點坐標為（1，4），
∵f（1）=4.1+a+b+c=4，
∴c=5．f（x）=x³+2x²-4x+5；
（2）由（1）知f（x）=x³+2x²-4x+5，
∴f'（x）=3x²+4x-4=（x+2）（3x-2），
令f′(x)=0，得x1=-2，x2=

2

3

．
x∈(-∞，-2)∪(

2

3

，+∞)f′(x)＞0，x∈(-2，

2

3

)f′(x)＜0
∴f（x）_極大值=f（-2）=13，f（x）_極小值=f(

2

3

)=

95

27

∵函數y=f（x）的圖象與直線y=m有三個不同的公共點，
∴

95

27

＜m＜13；
∴m∈(

95

27

，13)．

點評：本題考察了利用導數研究函數的單調性，函數的極值問題，以及求曲線上某點的切線方程問題，本題是一道中檔題．