Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ ．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）設g（x）=﹣x2+2bx﹣4，若對任意x1∈（0，2），x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥g（x2） 恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=lnx﹣ 的定義域是（0，+∞）．

f′（x）= = ，

由x＞0及f′（x）＞0得1＜x＜3；由x＞0及f′（x）＜0得0＜x＜1或x＞3，

故函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是（1，3）；單調遞減區(qū)間是（0，1），（3，+∞）．

（2）解：由（1）知，f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，3）上單調遞增，

所以當x∈（0，2）時， ，

對任意x1∈（0，2），x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，

問題等價于﹣ ≥g（x）對任意x∈[1，2]恒成立，即 恒成立．

不等式可變?yōu)閎 ，

因為x∈[1，2]，所以 ，當且僅當 ，即x= 時取等號．

所以b ，

故實數(shù)b的取值范圍是（ ]

【解析】（1）求f′（x），在函數(shù)定義域內利用導數(shù)與函數(shù)單調性關系解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可．（2）由題意不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，可轉化為f（x）min≥g（x）max ， 或分離出參數(shù)后再求函數(shù)最值．
【考點精析】利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減．