Question

表面積為6π的圓柱，當(dāng)其體積最大時(shí)，該圓柱的高與底面半徑的比為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)出圓柱的高為h，底面半徑為r，由表面積公式，求出r與h的關(guān)系，寫出圓柱的體積V的解析式，求出V取最大時(shí)的h與r的比值．

解答： 解：設(shè)該圓柱的高為h，底面半徑為r，
∴表面積為2πr²+2πrh=6π，
即r²+rh=3，
∴h=

3-r2

r

；
∴圓柱的體積為
V=πr²h=πr²•

3-r2

r

=πr（3-r²）=3πr-πr³，
∴V′=3π-3πr²，
令V′=0，
解得r=1，此時(shí)V最大；
此時(shí)h=

3-12

1

=2，
∴

h

r

=

2

1

=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評：本題考查了圓柱體的表面積與體積公式的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)利用公式建立函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)解析式的最值，是綜合題．