Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2，x＞0}\\{-3|x+a|+a，x＜0}\end{array}\right.$的圖象上恰有三對(duì)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{17}{8}$，-2）
• B． （-$\frac{17}{8}$，-2]
• C． [1，$\frac{17}{16}$）
• D． （1，$\frac{17}{16}$）

Answer 1

分析 求得x＞0的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象的解析式．由題意可得方程2-x²=-3|x+a|+a在x＜0時(shí)有三個(gè)不等的實(shí)根．通過(guò)去絕對(duì)值，討論a的正負(fù)，解出二次方程的根，判斷正負(fù)，結(jié)合判別式大于0，解不等式即可得到所求a的范圍．

解答 解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²-2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=-x²+2（x＜0），
由題意可得方程2-x²=-3|x+a|+a在x＜0時(shí)有三個(gè)不等的實(shí)根．
若a≤0時(shí)，方程即為x²+3x+4a-2=0最多有2個(gè)不等實(shí)根，故不成立；
當(dāng)a＞0時(shí)，若x≥-a時(shí)，方程即為x²-3x-2a-2=0，
解得x=$\frac{3±\sqrt{17+8a}}{2}$，舍去正的，可得x=$\frac{3-\sqrt{17+8a}}{2}$；
若x＜-a，方程即為x²+3x+4a-2=0，由題意可得判別式大于0，
即為9-4（4a-2）＞0，解得a＜$\frac{17}{16}$．解得x=$\frac{-3±\sqrt{17-16a}}{2}$．
由$\frac{3-\sqrt{17+8a}}{2}$≥-a，$\frac{-3-\sqrt{17-16a}}{2}$＜-a，且$\frac{-3+\sqrt{17-16a}}{2}$＜-a，
可得a≥1且0＜a＜＜$\frac{17}{16}$且1＜a＜＜$\frac{17}{16}$．
即有a的范圍是（1，$\frac{17}{16}$）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，絕對(duì)值的意義，討論二次方程的根的分布情況，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．