Question

5．在三棱錐P-ABC中，△PAB是等邊三角形，∠APC=∠BPC=60°．
（Ⅰ）求證：AB⊥PC；
（Ⅱ）若PB=4，BE⊥PC，求三棱錐B-PAE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先證AB⊥平面PDC，再由線面垂直的性質(zhì)證明AB⊥PC；
（Ⅱ）求出底面面積，以及高，轉(zhuǎn)化求V_P-ABE，即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：如圖，取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)PD，CD，
則PD⊥AB，CD⊥AB，
∴AB⊥平面PDC，PC?平面PDC，
∴AB⊥PC；
（Ⅱ）連結(jié)AE．BE⊥PC，
∵△PAB是等邊三角形，∴AE⊥PC，AB⊥PC，PC⊥平面EAB，
PB=4，AB=PA=4，∠APC=∠BPC=60°，可得PE=2，BE=AE=2$\sqrt{3}$，DE=2$\sqrt{2}$．
∴V_P-ABE=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×$2$\sqrt{2}$×4×2=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的證明與性質(zhì)，考查了棱錐的體積計(jì)算，考查了學(xué)生的推理論證能力及空間想象能力．