Question

18．已知{a_n}為等差數(shù)列，且a₁+a₃=8，a₂+a₄=12．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）設(shè){a_n}為公差為d的等差數(shù)列，由條件運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得方程，解方程可得首項(xiàng)和公差，即可得到所求通項(xiàng)；
（2）求出${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè){a_n}為公差為d的等差數(shù)列，
由a₁+a₃=8，a₂+a₄=12，
可得2a₁+2d=8，2a₁+4d=12，
解得a₁=d=2，
即有a_n=a₁+（n-1）d=2n，n∈N*；
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{4（n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，以及數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．