Question

（2013•和平區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=x-

2

x

-3lnx+1
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間：
（II）求f（x）在區(qū)間[1，e²]上的值域；
（III）若函數(shù)g（x）=7f（x）+m-

16

x

-4x在[l，4]上取得最大值3，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由零點(diǎn)對函數(shù)定義域分段，利用導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號判斷原函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在區(qū)間（1，e²）內(nèi)，當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取得極小值，求出f（1）和f（e²）的值，則f（x）在區(qū)間[1，e²]上的值域可求；
（Ⅲ）把函數(shù)f（x）解析式代入g（x）=7f（x）+m-

16

x

-4x，整理后利用導(dǎo)函數(shù)求出g（x）在[l，4]上取得最大值，由最大值等于3可求實(shí)數(shù)m的值．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
f′(x)=1+

2

x2

-

3

x

=

x2-3x+2

x2

=

(x-1)(x-2)

x2

．
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f^′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f^′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f^′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
∴f（x）的增區(qū)間為（0，1）（2，+∞），
減區(qū)間為（1，2）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在區(qū)間（1，e²）內(nèi)，當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取得極小值，
而f（1）=0，f（2）=2-3ln2，f(e2)=e2-

2

e2

-5．
∵f（2）＜f（1）＜f（e²），
∴f（x）在區(qū)間（1，e²）上的值域?yàn)?span id="mgo7w4p" class="MathJye">[2-3ln2，e2-

2

e2

-5]；
（Ⅲ）由f(x)=x-

2

x

-3lnx+1及g(x)=7f(x)+m-

16

x

-4x，
得g(x)=3(x-

10

x

-7lnx)+7+m．
∴g′(x)=3(1+

10

x2

-

7

x

)=

3

x2

(x2-7x+10)=

3

x2

(x-2)(x-5)，x∈[1，4]
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，g^′（x）＞0，g（x）在[1，2）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（2，4]時(shí)，g^′（x）＜0，g（x）在（2，4]上單調(diào)遞減．
則g（x）在[1，4]上有最大值g（x）_max=g（2）=m-2ln2-2=3．
∴實(shí)數(shù)m的值為5+2ln2．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)值域的求法，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，解答的關(guān)鍵是正確求出基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，屬中高檔題．