Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}$（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．
（1）求直線l和曲線C的直角坐標(biāo)方程；?
（2）求曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最值．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（2）曲線C的圓心為（1，0），半徑為1，則圓心到直線的距離d=$\frac{1}{2}$，與半徑比較即可得出．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}$（t為參數(shù)），
消去參數(shù)t可得普通方程l：$x-\sqrt{3}y-2=0$．
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，
可得直角坐標(biāo)方程C：x²+y²-2x=0，配方為（x-1）²+y²=1．
（2）曲線C的圓心為（1，0），半徑為1，
則圓心到直線的距離$d=\frac{{|{1-2}|}}{2}=\frac{1}{2}＜1$，故直線與圓相交，
∴${d_{min}}=0，{d_{max}}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相交弦長(zhǎng)問題、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．