Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin²x+$\frac{3}{2}$sin2x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{3}$，△ABC的面積為3$\sqrt{3}$，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，即可得解函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）由f（$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{3}$，化簡(jiǎn)可得：sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，由A∈（0，π），可得A-$\frac{π}{6}$的范圍，從而可求A的值，利用三角形面積公式可求bc=12，利用余弦定理，基本不等式即可解得a的最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin²x+$\frac{3}{2}$sin2x=$\frac{\sqrt{3}（1-cos2x）}{2}$+$\frac{3}{2}$sin2x=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．
（2）∵f（$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{3}$，即：$\sqrt{3}$sin（2×$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，化簡(jiǎn)可得：sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
又∵A∈（0，π），可得：A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，解得：A=$\frac{π}{3}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$bc=3$\sqrt{3}$，解得：bc=12，
∴a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}-bc}$≥$\sqrt{bc}$=2$\sqrt{3}$．（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立）．
故a的最小值為2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．