Question

（2012•杭州二模）已知四棱錐 P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC=2，G為△PAC的重心，E為PB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且CF=2FB．
（Ⅰ）求證：FG⊥AC；
（Ⅱ）當(dāng)二面角 P-CD-A 的正切值為多少時，F(xiàn)G⊥平面AEC；并求此時直線FG與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）連接CG并延長交PA于H，連接BH，利用三角形的重心的性質(zhì)和已知條件即可得到FG∥BH．利用線面垂直的性質(zhì)和判定定理即可證明AC⊥平面PAB，于是AC⊥BH，進(jìn)而得到結(jié)論；
（II）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個平面的法向量即可得到二面角，利用斜線的方向向量和平面的法向量即可得到線面角．

解答：（Ⅰ）證明：連接CG并延長交PA于H，連接BH，
∵G是△PAC的重心，∴CG：GH=2：1，
∵CF：FB=2：1，∴CG：GH=CF：FB，∴FG∥BH．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，∴AC⊥平面PAB，
∴AC⊥BH，∴FG⊥AC．
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PD，∴∠PDA為二面角P-CD-A的平面角．
如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系
∵AB=AC=2且AB⊥AC，∴∠ACB=45°，
在直角梯形ABCD中，∵∠BCD=90°，∴∠ACD=45°，
∵AC=2，∴AD=CD=

2

．
∴A（0，0，0），C（

2

，

2

，0），D（0，

2

，0），B（

2

，-

2

，0），
設(shè)P（0，0，a），∴H（0，0，

a

2

），E（

2

2

，-

2

2

，

a

2

），
∵FG⊥平面AEC∴FG⊥AE∵FG∥BH∴BH⊥AE
∴

BH

=（-

2

，

2

，

a

2

），

AE

=（

2

2

，-

2

2

，

a

2

），∴

BH

•

AE

=0，∴a=2

2

，
∴PA=2

2

，∴tan∠PDA=2．
∴當(dāng)二面角P-CD-A的正切值為2時，F(xiàn)G⊥平面AEC．
∵BH∥FG，∴FG與平面PBC所成的角等于BH與平面PBC所成的角．
∵

BH

=（-

2

，

2

，

2

），

BC

=（0，2

2

，0），

PC

=（

2

，

2

，-2

2

），
設(shè)平面PBC的法向量

n

=（x，y，z），∴

n • BC =0 n • PC =0

，∴

y=0 x=2z

，
令z=1，∴

n

=（2，0，1）．
∴cos＜

BH

，

n

＞=

BH • n

| BH |•| n |

=-

15

15

．
設(shè)直線FG與平面PBC所成的角為θ，
∴sinθ=|cos＜

BH

，

n

＞|=

15

15

，
∴直線FG與平面PBC所成的角的正弦值為

15

15

．

點(diǎn)評：熟練掌握三角形的重心的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)和判定定理、線線垂直，及通過建立空間直角坐標(biāo)系并利用兩個平面的法向量即可得到二面角、利用斜線的方向向量和平面的法向量即可得到線面角的方法是解題的關(guān)鍵．