【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù).

若曲線在處的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的值；

若對(duì)，都有，求的取值范圍.

【答案】

【解析】

（1）求出切點(diǎn)坐標(biāo)，寫出切線方程，利用切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求得a即可．

（2）對(duì)a分類討論，易判斷當(dāng)或當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，根據(jù)單調(diào)性得出結(jié)論，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減， 故，又因?yàn)?/span>，成立.而的最大值為，將最大值構(gòu)造新函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，然后求解結(jié)果．

求導(dǎo)得，所以.

又，所以曲線在處的切線方程為.

由切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，得，解得即為所求.

對(duì)，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

①當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故，由恒成立，得，這與矛盾，故舍去.

②當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故，即，由恒成立得，結(jié)合得.

③當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可知，存在唯一，使得，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

故，由恒成立知，，，所以.

又的最大值為，由得，

所以.

設(shè)，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，于是，即.所以不等式恒成立.

綜上所述，所求的取值范圍是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知標(biāo)準(zhǔn)方程下的橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且經(jīng)過點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)恰好與拋物線的焦點(diǎn)重合．橢圓的上頂點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，連接、，記直線的斜率分別為.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求的值.

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損壞餐椅數(shù)

未損壞餐椅數(shù)

總 計(jì)

學(xué)習(xí)雷鋒精神前

50

150

200

學(xué)習(xí)雷鋒精神后

30

170

200

總 計(jì)

80

320

400

(1)求:學(xué)習(xí)雷鋒精神前后餐椅損壞的百分比分別是多少?并初步判斷損毀餐椅數(shù)量與學(xué)習(xí)雷鋒精神是否有關(guān)？

(2)請(qǐng)說明是否有97.5%以上的把握認(rèn)為損毀餐椅數(shù)量與學(xué)習(xí)雷鋒精神有關(guān)？

參考公式： ，

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【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，若直線的斜率為1，且與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為， 的周長(zhǎng)為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)的直線（直線的斜率不為1）與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，若，求直線的斜率.

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【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），圓的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的普通方程與圓的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)曲線與直線交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，求的值.

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【題目】我們國(guó)家正處于老齡化社會(huì)中，老有所依也是政府的民生工程.某市共有戶籍人口400萬(wàn)，其中老人（年齡60歲及以上）人數(shù)約有66萬(wàn)，為了了解老人們的健康狀況，政府從老人中隨機(jī)抽取600人并委托醫(yī)療機(jī)構(gòu)免費(fèi)為他們進(jìn)行健康評(píng)估，健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個(gè)等級(jí)，并以80歲為界限分成兩個(gè)群體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，樣本分布被制作成如下圖表：

（1）若采用分層抽樣的方法再?gòu)臉颖局械牟荒茏岳淼睦先酥谐槿?/span>8人進(jìn)一步了解他們的生活狀況，則兩個(gè)群體中各應(yīng)抽取多少人？

（2）估算該市80歲及以上長(zhǎng)者占全市戶籍人口的百分比；

（3）據(jù)統(tǒng)計(jì)該市大約有五分之一的戶籍老人無(wú)固定收入，政府計(jì)劃為這部分老人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼，標(biāo)準(zhǔn)如下：

①80歲及以上長(zhǎng)者每人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼200元；

②80歲以下老人每人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼120元；

③不能自理的老人每人每月額外發(fā)放生活補(bǔ)貼100元.

利用樣本估計(jì)總體，試估計(jì)政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算.（單位：億元，結(jié)果保留兩位小數(shù)）

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（1）證明：平面平面；

（2）若平面，并且二面角的大小為，求的值．

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（1）若直線與拋物線交于點(diǎn)， ，且，求；

（2）證明： 的面積與四邊形的面積之比為定值.

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【題目】某公司銷售甲、乙兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查和預(yù)測(cè)，甲產(chǎn)品的利潤(rùn)（萬(wàn)元）與投資額（萬(wàn)元）成正比，其關(guān)系如圖所示；乙產(chǎn)品的利潤(rùn)（萬(wàn)元）與投資額（萬(wàn)元）的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系式如圖所示．

（1）分別將甲、乙兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資額的函數(shù)；

（2）若該公司投資萬(wàn)元資金，并全部用于甲、乙兩種產(chǎn)品的營(yíng)銷，問：怎樣分配這萬(wàn)元投資，才能使公司獲得最大利潤(rùn)？其最大利潤(rùn)為多少？

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