Question

（2011•藍(lán)山縣模擬）已知函數(shù)f(x)=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx（a＞0）．
（1）若函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)分別為x₁，x₂，x₃，且x₁+x₂+x₃=-3，x₁x₂=-9，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f′(1)=-

1

2

a，3a＞2c＞2b，證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)一定有極值點(diǎn)；
（3）在（2）的條件下，若函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)之間的距離不小于

3

，求

b

a

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的概念，x₁，x₂，x₃，即為f(x)=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx=0的三個(gè)實(shí)數(shù)根，則x₃=0，結(jié)合韋達(dá)定理得出-

3b

2a

=-3，

3c

a

=-9，由此f′（x）=a（x-1）（x+3），單調(diào)區(qū)間可求．
（2）由條件得出f′（1）=a+b+c=-

1

2

a＜0，整理3a+2b+2c=0，又f′（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．考察f′（0），f′（1），f′（2）的符號(hào)，利用f′（x）在（0，2）內(nèi)由零點(diǎn)（需對(duì)c的取值進(jìn)行討論）進(jìn)行證明．
（3）設(shè)m，n是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則m，n也是導(dǎo)函數(shù) f′（x）=ax²+bx+c=0的兩個(gè)零點(diǎn)．可得出|m-n|，關(guān)于

b

a

的不等式，并結(jié)合約束條件2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b得出取值范圍．

解答：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx=x（

1

3

ax2+

1

2

bx+c）（a＞0），又x₁+x₂+x₃=-3，x₁x₂=-9，則x₃=0，x₁+x₂=-3，x₁x₂=-9（1分）
因?yàn)閤₁，x₂是方程

1

3

ax2+

1

2

bx+c=0的兩根，
則-

3b

2a

=-3，

3c

a

=-9，得

b

a

=2，

c

a

=-3，（3分）
所以f′(x)=ax2+bx+c=a(x2+

b

a

x+

c

a

)=a（x²+2x-3）=a（x-1）（x+3）．
令 f′（x）=0 解得：x=1，x=-3
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-3，1），單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-3），（1，+∞）． （5分）
（2）因?yàn)?f′（x）=ax²+bx+c，f′(1)=-

1

2

a，，所以a+b+c=-

1

2

a，即3a+2b+2c=0．
又a＞0，3a＞2c＞2b，，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0．b＜0．（7分）
于是f′(1)=-

1

2

a＜0，f′（0）=c，f′（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．（8分）
①當(dāng)c＞0時(shí)，因?yàn)閒′（0）=c＞0，f′(1)=-

1

2

a＜0，而f′（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)連續(xù)，則f′（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x=m，則在x∈（0，m），f′（x）＞0，
f（x）單調(diào)遞增，在x∈（m，1），f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有極大值點(diǎn)x=m； （9分）
②當(dāng)c≤0時(shí)，因?yàn)?span id="dnasac4" class="MathJye">f′(1)=-

1

2

a＜0，f′（2）=a-c＞0，則f′（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一零點(diǎn)．
同理，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)有極小值點(diǎn)．
綜上得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)一定有極值點(diǎn)． （10分）
（3）設(shè)m，n是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則m，n也是導(dǎo)函數(shù) f′（x）=ax²+bx+c=0的兩個(gè)零點(diǎn)，由（2）得
3a+2b+2c=0，則m+n=-

b

a

，mn=

c

a

=-

3

2

- 

b

a

．所以|m-n|=

(m+n)2-4mn

=

(- b a )2-4( - 3 2 - b a )

=

( b a +2)2+2

  
由已知，

( b a +2)2+2

≥

3

，則兩邊平方(

b

a

+2)2+2≥3，得出

b

a

+2≥1，或

b

a

+2≤-1，即

b

a

≥-1，或

b

a

≤-3
又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以3a＞-3a-2b＞2b，即-3a＜b＜-

3

4

a．
因?yàn)閍＞0，所以-3＜

b

a

＜-

3

4

．
綜上分析，

b

a

的取值范圍是[-1，-

3

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)與不等式的綜合．考查函數(shù)零點(diǎn)的知識(shí)，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)．需具有分析解決、代換轉(zhuǎn)化，推理計(jì)算能力．