Question

設函數(shù)．
（1）當k=1時，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并加以證明；
（2）當k=0時，求證：f（x）＞0對一切x＞0恒成立；
（3）若k＜0，且k為常數(shù)，求證：f（x）的極小值是一個與a無關的常數(shù)．

Answer 1

解：（1）函數(shù)的定義域為x＞0
當k=1時，f（x）=
∵=
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)
（2）當k=0時，

令
當

∴
∵e＞2
∴
∴f（x）＞0恒成立
（3）∵
∴
令
解得（舍去）
∴
，f′（x）＜0，f（x）是單調(diào)減函數(shù)
時，f′（x）＞0，f（x）是單調(diào)增函數(shù)
因此，當x=f（x）有極小值
令
∵而是與a無關的常數(shù)
∴均與a無關．
∴f（x₀）是與a無關的常數(shù)．
則f（x）的極小值是一個與a無關的常數(shù)．
分析：（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，判斷出導函數(shù)小于等于0，判斷出函數(shù)單調(diào)性．
（2）求出導函數(shù)，令導函數(shù)為0，求出根，判斷出根左右兩邊的符號，求出極小值，判斷出極小值的符號得證．
（3）求出導函數(shù)，令導函數(shù)為0，求出根，判斷根左右兩邊的符號，求出極小值，判斷出極小值是與a無關的常數(shù)．
點評：求函數(shù)的極小值時，令導函數(shù)為0求出根，但一定注意判斷根左右兩邊的符號是否異號．