Question

9．已知函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{2π}{3}$），將其圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位，再向上平移$\frac{1}{2}$個(gè)單位得到函數(shù)f（x）=acos²（x+$\frac{π}{3}$）+b的圖象．
（1）求實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）設(shè)函數(shù)φ（x）=g（x）-$\sqrt{3}$f（x），求函數(shù)φ（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平移變換的規(guī)律，即可得到實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）根據(jù)函數(shù)φ（x）=g（x）-$\sqrt{3}$f（x）化簡(jiǎn)為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

解答 解：（1）由函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{2π}{3}$），將其圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位，
得：$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{2}+\frac{2π}{3}$）=$\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{2π}{3}$），
再向上平移$\frac{1}{2}$個(gè)單位得到：$\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{2π}{3}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$[cos2（x+$\frac{π}{3}$）+1]=$\frac{1}{2}$×2cos²（x+$\frac{π}{3}$）
由題意可得f（x）=acos²（x+$\frac{π}{3}$）+b=與函數(shù)y=cos²（x+$\frac{π}{3}$）相同．
∴a=1，b=0．
故得實(shí)數(shù)a、b的值分別為1和0．
（2）由函數(shù)φ（x）=g（x）-$\sqrt{3}$f（x），
即φ（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{2π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²（x+$\frac{π}{3}$）
=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{2π}{3}$）-$\sqrt{3}[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos（2x+\frac{2π}{3}）]$=sin（2x+$\frac{2π}{3}$$-\frac{π}{3}$）$-\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x$+\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
由$2kπ-\frac{π}{2}≤$2x$+\frac{π}{3}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
可得：$-\frac{5π}{12}+kπ≤$x$≤\frac{π}{12}+kπ$，k∈Z．
故得函數(shù)φ（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$-\frac{5π}{12}+kπ$，$\frac{π}{12}+kπ$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的平移變換，圖象和性質(zhì)的運(yùn)用以及化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．