已知函數(shù)，.

(Ⅰ) 求函數(shù)在點處的切線方程；

(Ⅱ) 若函數(shù)與在區(qū)間上均為增函數(shù),求的取值范圍；

(Ⅲ) 若方程有唯一解,試求實數(shù)的值.

 

【答案】

(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)

【解析】

試題分析：(Ⅰ)因為,所以切線的斜率

       2分

又,故所求切線方程為,即             4分

(Ⅱ)因為,又,所以當時,；當時, .

即在上遞增,在上遞減    5分

又,所以在上遞增,在上遞減      6分

欲與在區(qū)間上均為增函數(shù),則,解得    8分

(Ⅲ) 原方程等價于,令,則原方程即為.                 9分

因為當時原方程有唯一解,所以函數(shù)與的圖象在軸右側有唯一的交點          10分

又,且，

所以當時,，函數(shù)單調遞增；當時, ，函數(shù)單調遞減.

故在處取得最小值．                                   12分

從而當時原方程有唯一解的充要條件是．     13分

考點：函數(shù)單調性最值

點評：第一問利用導數(shù)的幾何意義可求出切線斜率，進而得到直線方程，由導數(shù)大于零可求得增區(qū)間，導數(shù)小于零可得減區(qū)間，第三問將方程有一個根轉化為兩函數(shù)圖像只有唯一交點，結合圖像需求函數(shù)最值

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2-2x+c在x=-2時有極大值6，在x=1時有極小值，
（1）求a，b，c的值；
（2）求f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2
3
a•sinx•cosx•cos2x-6cos22x+3，且f(
π
24
)=0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的周期T和單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（θ）=-3，且θ∈(-
5π
24
，
π
24
)，求θ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=asinx+bcosx+c的圖象上有一個最低點(
11π
6
，-1)．
（Ⅰ）如果x=0時，y=-
3
2
，求a，b，c．
（Ⅱ）如果將圖象上每個點的縱坐標不變，橫坐標縮小到原來的
3
π
，然后將所得圖象向左平移一個單位得到y(tǒng)=f（x）的圖象，并且方程f（x）=3的所有正根依次成為一個公差為3的等差數(shù)列，求y=f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-4，設曲線y=f（x）在點（xn，f（xn））處的切線與x軸的交點為（xn+1，0）（n∈N*），其中x1為正實數(shù)．
（Ⅰ）用xn表示xn+1；
（Ⅱ）若x1=4，記an=lg
xn+2xn-2
，證明數(shù)列{an}成等比數(shù)列，并求數(shù)列{xn}的通項公式；
（Ⅲ）若x1=4，bn=xn-2，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，證明Tn＜3．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）的解析式為（　　）
A、f(x)=2sin(
1
2
x+
π
6
)
B、f(x)=2sin(
1
2
x-
π
6
)
C、f(x)=2sin(2x-
π
6
)
D、f(x)=2sin(2x+
π
6
)

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