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設數列的前項和為．已知，，．

（Ⅰ）設，求數列的通項公式；

（Ⅱ）若，證明對任意的 ，不等式

恒成立．


解析:

（Ⅰ）解：依題意，，即，

由此得．

因此，所求通項公式為，．……………………5分

（Ⅱ）證明：由已知，

則，所以

.……………………7分

下面用數學歸納法證明不等式

成立.

①當時,左邊=,右邊=,因為,所以不等式成立. …………………8分

②假設當時不等式成立,即

成立.

則當時,左邊

=

．……………………………………………………………………………11分

要證成立，

只需證成立，

由于，

只需證成立，

只需證成立，

只需證成立，

由于，所以成立．

即

成立.

所以當時,不等式也成立.

由①，②可得不等式恒成立. ………………………………………………………………14分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設數列的前項和為，已知，且

，

其中為常數.

(Ⅰ)求與的值；

(Ⅱ)證明：數列為等差數列；

(Ⅲ)證明：不等式對任何正整數都成立.

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科目：高中數學 來源： 題型：

設數列的前項和為，已知對任意正整數，都有成立。

（I）求數列的通項公式；

（II）設，數列的前項和為，求證：。

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科目：高中數學 來源：2011屆浙江省杭州市七校高三上學期期中考試數學理卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）設數列的前項和為，已知.
（1）求數列的通項公式；
（2）問數列中是否存在某三項，它們可以構成一個等差數列？若存在，請求出一組適合條件的項；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源：2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數學（全國卷Ⅱ） 題型：解答題

（本小題滿分12分）
設數列的前項和為。已知，，。
（Ⅰ）設，求數列的通項公式；
（Ⅱ）若，，求的取值范圍。

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科目：高中數學 來源：2014屆河南省高二第一次月考數學試卷（解析版） 題型：解答題

 設數列的前項和為，已知

（Ⅰ）求證：數列為等差數列，并寫出關于的表達式；

（Ⅱ）若數列前項和為，問滿足的最小正整數是多少?

 

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