Question

18．如圖，△ABC中，AB=4，BC=2，∠ABC=∠D=60°，△ADC是銳角三角形，DA+DC的取值范圍為$（6，4\sqrt{3}]$．

Answer 1

分析 在△BAC中，由余弦定理可得：AC²=4²+2²-2×4×2×cos60°，AC=2$\sqrt{3}$．在△ADC中，設∠CAD=α，則∠ACD=120°-α．由于△ADC是銳角三角形，可得30°＜α＜90°．
由正弦定理可得：$\frac{AD}{sin（12{0}^{°}-α）}$=$\frac{DC}{sinα}$=$\frac{2\sqrt{3}}{sin6{0}^{°}}$=4．化簡整理即可得出．

解答 解：在△BAC中，由余弦定理可得：AC²=4²+2²-2×4×2×cos60°=12．
∴AC=2$\sqrt{3}$．
在△ADC中，設∠CAD=α，則∠ACD=120°-α．
∵△ADC是銳角三角形，∴0°＜α＜90°，0°＜120°-α＜90°，可得30°＜α＜90°．
由正弦定理可得：$\frac{AD}{sin（12{0}^{°}-α）}$=$\frac{DC}{sinα}$=$\frac{2\sqrt{3}}{sin6{0}^{°}}$=4．
∴AD=4sin（120°-α），DC=4sinα，
∴AD+DC=4sin（120°-α）+4sinα=$4（\frac{\sqrt{3}}{2}cosα+\frac{1}{2}sinα+sinα）$
=$4\sqrt{3}$$（\frac{\sqrt{3}}{2}sinα+\frac{1}{2}cosα）$
=4$\sqrt{3}$sin（α+30°），
∵30°＜α＜90°，∴60°＜α+30°＜120°，
∴sin（α+30°）∈$（\frac{\sqrt{3}}{2}，1]$．
∴AD+DC∈$（6，4\sqrt{3}]$．
故答案為：$（6，4\sqrt{3}]$．

點評 本題考查了正弦定理弦定理、和差化積、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．