已知函數(shù).
(1)證明:;
(2)當(dāng)時(shí),
,求
的取值范圍.
(1)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析;(2).
【解析】
試題分析:本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等基礎(chǔ)知識(shí),考查綜合分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.第一問(wèn),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032605245037908157/SYS201403260525365196119579_DA.files/image002.png">,所求證,所以只需分母
即可,設(shè)函數(shù)
,對(duì)
求導(dǎo),判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出最小值,證明最小值大于0即可,所求證的不等式的右邊,需證明函數(shù)
的最大值為1即可,對(duì)
求導(dǎo),判斷單調(diào)性求最大值;第二問(wèn),結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論
,討論
的正負(fù),當(dāng)
時(shí),
,而
與
矛盾,當(dāng)
時(shí),當(dāng)
時(shí),
與
矛盾,當(dāng)
時(shí),分母
去分母,
等價(jià)于
,設(shè)出新函數(shù)
,需要討論
的情況,判斷在每種情況下,
是否大于0,綜合上述所有情況,寫(xiě)出符合題意的
的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ)設(shè),則
.
當(dāng)時(shí),
,
單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),
,
單調(diào)遞增.
所以.
又,故
.
2分
當(dāng)時(shí),
,
單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),
,
單調(diào)遞減.
所以.
綜上,有.
5分
(Ⅱ)(1)若,則
時(shí),
,不等式不成立. 6分
(2)若,則當(dāng)
時(shí),
,不等式不成立. 7分
(3)若,則
等價(jià)于
. ①
設(shè),則
.
若,則當(dāng)
,
,
單調(diào)遞增,
. 9分
若,則當(dāng)
,
,
單調(diào)遞減,
.
于是,若,不等式①成立當(dāng)且僅當(dāng)
. 11分
綜上,的取值范圍是
.
考點(diǎn):1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性;2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值;3.恒成立問(wèn)題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
1 | e2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
1 | x |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
1+ln(x+1) |
x |
3 |
x+1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
mx+n | ex |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
1 |
x |
1 |
e |
1 |
e |
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