已知函數(shù).

(1)證明:;

(2)當(dāng)時(shí),,求的取值范圍.

 

【答案】

(1)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析;(2).

【解析】

試題分析:本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等基礎(chǔ)知識(shí),考查綜合分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.第一問(wèn),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032605245037908157/SYS201403260525365196119579_DA.files/image002.png">,所求證,所以只需分母即可,設(shè)函數(shù),對(duì)求導(dǎo),判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出最小值,證明最小值大于0即可,所求證的不等式的右邊,需證明函數(shù)的最大值為1即可,對(duì)求導(dǎo),判斷單調(diào)性求最大值;第二問(wèn),結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論,討論的正負(fù),當(dāng)時(shí),,而矛盾,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),矛盾,當(dāng)時(shí),分母去分母,等價(jià)于,設(shè)出新函數(shù),需要討論的情況,判斷在每種情況下,是否大于0,綜合上述所有情況,寫(xiě)出符合題意的的取值范圍.

試題解析:(Ⅰ)設(shè),則

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.

所以

,故.            2分

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.

所以

綜上,有.            5分

(Ⅱ)(1)若,則時(shí),,不等式不成立.   6分

(2)若,則當(dāng)時(shí),,不等式不成立.   7分

(3)若,則等價(jià)于.   ①

設(shè),則

,則當(dāng)單調(diào)遞增,. 9分

,則當(dāng),單調(diào)遞減,

于是,若,不等式①成立當(dāng)且僅當(dāng).       11分

綜上,的取值范圍是

考點(diǎn):1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性;2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值;3.恒成立問(wèn)題.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=xex,其中x∈R.
(Ⅰ)求曲線(xiàn)f(x)在點(diǎn)(x0,x0ex0)處的切線(xiàn)方程
(Ⅱ)如果過(guò)點(diǎn)(a,b)可作曲線(xiàn)y=f(x)的三條切線(xiàn)
(1)當(dāng)-2<a<0時(shí),證明:-
1e2
(a+4)<b<f(a);
(2)當(dāng)a<-2時(shí),寫(xiě)出b的取值范圍(不需要書(shū)寫(xiě)推證過(guò)程).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1x
+ax+1-a,a∈R,
(1)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(2)若a=1,試證f(x)在區(qū)間(0,1]上是減函數(shù);
(3)若a=1,試求f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+ln(x+1)
x
(x>0),
(1)函數(shù)f(x) 在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù)還是減函數(shù)?證明你的結(jié)論;
(2)證明:當(dāng)x>0時(shí),f(x)>
3
x+1
恒成立;
(3)試證:(1+1•2)(1+2•3)…[1+n(n+1)]>e2n-3(n∈N*).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•唐山一模)已知函數(shù)f(x)=
mx+nex
在x=1處取得極值e-1
(I )求函數(shù)f(x)的解析式,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•臨沂二模)已知函數(shù)f(x)=ax-
1
x
-(a+1)lnx(a<1).
(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若0<a<
1
e
,試證對(duì)區(qū)間[1,e]上的任意x1、x2,總有成立|f(x1)-f(x2)|
1
e

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