已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，短軸一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線y=kx+
2
與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求K的取值范圍；
（3）若以AB為直徑作圓，過點(diǎn)O作圓的切線可作兩條，求k的取值范圍．
分析：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，根據(jù)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，短軸一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為
3
，可求橢圓C的方程；
（2）將直線y=kx+
2
代入橢圓C的方程
x2
3
+y2=1，可得(1+3k2)x2+6
2
kx+3=0，根據(jù)直線y=kx+
2
與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，可得
1+3k2≠0
△=(6
2
k)2-12(1+3k2)=12(3k2-1)＞0
，從而可求k的取值范圍．
（3）以AB為直徑作圓，過點(diǎn)O作圓的切線可作兩條，則點(diǎn)O在圓外．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1x2+y1y2＞0，利用韋達(dá)定理，由此可求k的取值范圍．
解答：解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，則由題意
∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，短軸一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為
3
．
∴
c
a
=
6
3
a=
3
，∴c=
2
，∴b=
a2-c2
=1
∴橢圓C的方程為
x2
3
+y2=1；
（2）將直線y=kx+
2
代入橢圓C的方程
x2
3
+y2=1，可得(1+3k2)x2+6
2
kx+3=0
∵直線y=kx+
2
與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)
∴
1+3k2≠0
△=(6
2
k)2-12(1+3k2)=12(3k2-1)＞0

∴k2＞
1
3

∴k＞
3
3
或k＜-
3
3
；
（3）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）
∵x1+x2=
-6
2
k
1+3k2
，x1x2=
3
1+3k2

∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+
2
)(kx2+
2
)
=(k2+1)x1x2+
2
k(x1+x2)+2
=(k2+1)×
3
1+3k2
+
2
k×
-6
2
k
1+3k2
+2=
5-3k2
1+3k2
＞0
∴5-3k2＞0
∵k2＞
1
3

∴
1
3
 ＜k2＜
5
3

∴
3
3
＜k＜
15
3
或
-
15
3
＜k＜-
3
3
點(diǎn)評：本題以橢圓的性質(zhì)為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是將以AB為直徑作圓，過點(diǎn)O作圓的切線可作兩條，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)O在圓外
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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