（1）設二次函數(shù)f ( x ) = ax2 + bx + c，證明 f ( x ) > 0對一切x∈R恒成立的充要條件是a > 0，且Δ= b2－4ac < 0；

（2）設a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn是不全為零的任意實數(shù)，利用（1）的結論證明：．

 

答案：
解析：

證明：（1）．
當a >0，且△=b2－4ac < 0時，，，f ( x ) > 0恒成立；
當f ( x ) > 0恒成立時，令，得．
即a與4ac－b2同號，若a < 0，4ac－b2 <0，
則當 時，f ( x ) = 0，與f ( x ) > 0矛盾，故 a >0，4ac－b2 >0，
即 a >0，△=b2－4ac < 0．

（2）由，整理得
恒成立，而 ，故
，即．

 


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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設二次函數(shù)f（x）滿足：①f（x-2）=f（-x-2）；②它的圖象在y軸上的截距為1；③它的圖象在x軸上截得的線段長為2
2
．
試求f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設二次函數(shù)f（x）=x2-x+a，若f（-t）＜0，則f（t+1）的值（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+1（a、b∈R）
（1）若f（-1）=0，且對任意實數(shù)x均有f（x）≥0成立，求實數(shù)a、b的值；
（2）在（1）的條件下，當x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，若f（x）≤m2-2am+2對所有x∈[-1，
2
-1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：044

（1）設二次函數(shù)f ( x ) = ax2 + bx + c，證明 f ( x ) > 0對一切x∈R恒成立的充要條件是a > 0，且Δ= b2－4ac < 0；

（2）設a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn是不全為零的任意實數(shù)，利用（1）的結論證明：．

 

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