Question

設(shè)定義在（0，+∞）的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足2f（x）+xf′（x）＞x²．若a，b，c滿足a=2^2.2•f（2^1.1），b=（log₃2）²•f（log₃2），c=（log₂3）²•f（log₂3），則a，b，c的大小關(guān)系是（　�。�

• A、a＜b＜c
• B、b＜a＜c
• C、c＜a＜b
• D、b＜c＜a

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由于2f（x）+xf′（x）＞x²（x＞0），則2xf（x）+x²f′（x）＞x³＞0，由導(dǎo)數(shù)的運算法則得，（x²f（x））′＞0，即有F（x）=x²f（x）在x＞0上單調(diào)遞增，則通過指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可比較它們的大�。�

解答： 解：由于2f（x）+xf′（x）＞x²（x＞0），
則2xf（x）+x²f′（x）＞x³＞0，
由導(dǎo)數(shù)的運算法則得，（x²f（x））′＞0，
即有F（x）=x²f（x）在x＞0上單調(diào)遞增，
則a=F（2^1.1），b=F（log₃2），c=F（log₂3），
由于2^1.1＞2，0＜log₃2＜1，1＜log₂3＜2，
則a＞c＞b，
故選D．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性和運用，考查指數(shù)、對數(shù)的運算，考查導(dǎo)數(shù)的運算法則，及單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號之間的關(guān)系，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．