Question

已知拋物線(xiàn)C：y²=2px，點(diǎn)P（-1，0）是其準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的焦點(diǎn)，過(guò)P的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在直線(xiàn)x=7上時(shí)，求直線(xiàn)l的方程；
（2）設(shè)F為拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，當(dāng)A為線(xiàn)段PB中點(diǎn)時(shí)，求△FAB的面積．

Answer 1

（1）因?yàn)閽佄锞�(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為x=-1，所以p=2，拋物線(xiàn)方程為y²=4x（2分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線(xiàn)l的方程為y=k（x+1），（依題意k存在，且k≠0）與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，消去y得k²x²+（2k²-4）x+k²=0…（*）x1+x2=

4-2k2

k2

，x₁x₂=（14分）
所以AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

2-k2

k

，即

2-k2

k2

=7所以k2=

1

4

（6分）
（此時(shí)（*）式判別式大于零）
所以直線(xiàn)l的方程為y=±

1

2

(x+1)（7分）
（2）因?yàn)锳為線(xiàn)段PB中點(diǎn)，所以

x2-1

2

=x1，

y2

2

=y1（8分）
由A、B為拋物線(xiàn)上點(diǎn)，得(

y2

2

)2=4×

x2-1

2

，y₂²=4x₂（10分）
解得x₂=2，y2=±2

2

（11分）
當(dāng)y2=2

2

時(shí)，y1=

2

；當(dāng)y2=-2

2

時(shí)，y1=-

2

（12分）
所以△FAB的面積S△FAB=S△PFB-S△PFA=

1

2

|PF|•|y2-y|=

2

（14分）