【題目】如圖，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，平面平面ABCD，為等腰直角三角形，，，點E，F分別為BC，PD的中點，直線PC與平面AEF交于點Q.

（1）若平面平面，求證：.

（2）求直線AQ與平面PCD所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)線面平行的判定定理證得平面，然后根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理證得.（2）先根據(jù)四點共面，結(jié)合向量的線性運算，求得，也即求得位置.建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量和平面的法向量，求得線面角的正弦值.

（1）證明：因為，平面PC，平面PCD，

所以平面PCD.又因為平面PAB，平面平面，所以.

（2）解：連接PE.

因為，

所以，

則

設(shè)，則.

因為A，E，Q，F四點共面，

所以，解得，則.

取AD的中點O，連接OC，OP，由題意可得OC，OD，OP兩兩垂直

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，.

所以，.

設(shè)平面PCD的一個法向量為，

則，令，得，即，

所以，

所以.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在一次運動會上，某單位派出了由6名主力隊員和5名替補隊員組成的代表隊參加比賽.

（1）如果隨機抽派5名隊員上場比賽，將主力隊員參加比賽的人數(shù)記為，求隨機變量的數(shù)學(xué)期望；

（2）若主力隊員中有2名隊員在練習(xí)比賽中受輕傷，不宜同時上場；替補隊員中有2名隊員身材相對矮小，也不宜同時上場，那么為了場上參加比賽的5名隊員中至少有3名主力隊員，教練員有多少種組隊方案？

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【題目】如圖，在四棱錐中，是邊長為4的正方形，平面，分別為的中點.

（1）證明：平面.

（2）若，求二面角的正弦值.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是.

（Ⅰ）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）若直線經(jīng)過曲線的焦點且與曲線相交于兩點，設(shè)線段的中點為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】有下列命題：

①函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱；

②若函數(shù)，則，都有；

③若函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則；

④若函數(shù)，則函數(shù)的最小值為．

其中真命題的序號是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在三棱柱中，，，，且.

（1）求證：平面平面；

（2）設(shè)二面角的大小為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，平面底面，且，，分別為，的中點.

（1）求證：平面；

（2）求證：平面平面；

（3）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)2018年的高考考生人數(shù)是2015年高考考生人數(shù)的倍，為了更好地對比該�？忌纳龑W(xué)情況，統(tǒng)計了該校2015年和2018年的高考情況，得到如圖柱狀圖：

則下列結(jié)論正確的是　　

A. 與2015年相比，2018年一本達(dá)線人數(shù)減少

B. 與2015年相比，2018年二本達(dá)線人數(shù)增加了倍

C. 2015年與2018年藝體達(dá)線人數(shù)相同

D. 與2015年相比，2018年不上線的人數(shù)有所增加

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù)，且的極小值為.

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）若過點可作三條不同的直線與曲線相切，求實數(shù)的取值范圍.

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