Question

已知函數f（x）=

1

2

ax²-（2a+1）x+2lnx（a∈R）；
（1）若a=1，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）＜0對x∈（0，2]恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：根據函數在曲線上一點的導數等于過這點切線的斜率很容易求出切線方程．f（x）＜0在（0，2]恒成立，說明在（0，2]上f（x）的最大值小于0，所以就轉變成求函數的最大值了．而求函數的最大值，用的方法就是求函數的導數，判斷函數的單調性，求函數的單調區(qū)間，并注意討論a．

解答： 解：（1）a=1時，f(x)=

1

2

x2-3x+2lnx，f′(x)=x-3+

2

x

，f'（1）=0，f（1）=-

5

2

；
∴曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y-(-

5

2

)=0(x-1)，即y=-

5

2

．
（2）由題意得[f（x）]_max＜0，f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

=

ax2-(2a+1)x+2

x

=

(ax-1)(x-2)

x

∴①a=0時，在（0，2]上f'（x）=

2-x

x

≥0，∴f（x）在（0，2]單調遞增，∴f_max（x）=f（2）=2ln2-2＜0，∴a=0符合題意．
②a＜0時，在（0，2]上f′(x)=

(ax-1)(x-2)

x

=

a(x- 1 a )(x-2)

x

＞0，∴f（x）在（0，2]單調遞增，∴f_max（x）=f（2）=2ln2-2a-2＜0．
解得a＞ln2-1，∴l(xiāng)n2-1＜a＜0符合題意．
③a＞0時，若

1

a

＜2，即a＞

1

2

，則f（x）在(0，

1

a

)單調遞增，(

1

a

，2)單調遞減，∴fmax(x)=f(

1

a

)=-2-2lna＜0，∴a＞

1

2

符合題意．
若

1

a

≥2，即0＜a≤

1

2

，則f（x）在（0，2]上單調遞增，∴f_max（x）=f（2）=2ln2-2a-2＜0，∴0＜a≤

1

2

符合題意．
綜上得：a∈（ln2-1，+∞）．

點評：考查的知識點有：函數在一點的導數與過這點切線的關系，用導數判斷函數的單調性，求函數的單調區(qū)間．由條件f（x）＜0，得出只要讓f（x）的最大值小于0，并注意對a的討論過程．