3.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=3,1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c}$,則b+c的最大值為( 。
A.3B.6C.9D.36

分析 利用和差公式、正弦定理可得A,再利用和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性值域即可得出.

解答 解:∵1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c}$,∴1+$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}$=$\frac{sin(A+B)}{cosAsinB}$=$\frac{sinC}{cosAsinB}$=$\frac{c}{bcosA}$=$\frac{2c}$,可得cosA=$\frac{1}{2}$,A∈(0,π),∴$A=\frac{π}{3}$.
∴$\frac{a}{sinA}$=2$\sqrt{3}$=$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$,
∴b+c=$2\sqrt{3}$(sinB+sinC)
=$2\sqrt{3}$(sinB+sin$(\frac{2π}{3}-B)$)
=6sin$(B+\frac{π}{6})$,
B+$\frac{π}{6}$∈$(\frac{π}{6},\frac{5π}{6})$,
∴b+c≤6,當且僅當B=$\frac{π}{3}$=C時取等號.
故選;B.

點評 本題考查了和差公式、正弦定理、三角函數(shù)的單調(diào)性值域,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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