Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且對任意正整數(shù)n，點（a_n+1，S_n）在直線2x+y-2=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值，若不存在，則說明理由；
（3）設{b_n}滿足：為數(shù)列{b_n}的前n項和，求證：．

Answer 1

解：（1）∵點（a_n+1，S_n）在直線2x+y-2=0上
∴2a_n+1+S_n-2=0即S_n=2-2a_n+1
∴當n≥2時S_n-1=2-2a_n相減得
a_n=2a_n+1又
∴
（2）假設存在實數(shù)λ符合題意，則必為與n無關的常數(shù)
要使上式與n無關，則2-λ=0得λ=2
故存在實數(shù)λ=2，使數(shù)列為等差數(shù)列
（3）∵==
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=
=
易得是關于正整數(shù)n的增函數(shù)
故T_n的最小值為
即對一切n∈N^*，都有
分析：（1）將點的坐標代入直線方程得到數(shù)列的項與和的遞推關系，仿寫一個等式，兩式相減，得到一等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）求出數(shù)列的第n項減去數(shù)列的第n-1項，為使此差為常數(shù)，令2-λ=0，求出λ的值．
（3）求出通項b_n，據(jù)通項的特點，利用裂項相消法求出數(shù)列的前n項和T_n，利用其單調(diào)性，求出其最小值，得到要證的不等式．
點評：在已知數(shù)列的項與和的遞推關系求數(shù)列的通項時，常采用的方法是仿寫相減得到項與項的遞推關系，再求通項．